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Ausgabe Januar 2011
Der Goldene Schnitt - Eine Maßgabe der Natur
von Hans Cousto



Der Goldene Schnitt (lateinisch: sectio aurea) oder auch die Göttliche Teilung (lateinisch: proportio divina) ist eine bestimmte Proportion, die vom menschlichen Wahrnehmungssystem als harmonisch empfunden wird und die in der Natur vielerorts beobachtet werden kann. Der Goldene Schnitt ist allgemein als ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Strecken bekannt: Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere Strecke zur kleineren Strecke verhält wie die Summe aus beiden Strecken zur größeren Strecke. Die geometrische Figur, die in ihrer Struktur den Goldenen Schnitt am besten darstellt, ist das Pentagramm.


Der Goldene Schnitt
Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden seit der griechischen Antike als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Sie werden als ideale Propor­tionen in Kunst und Architektur angewendet, kommen aber auch in der Natur vor, sowohl im Makro- als auch im Mikrokosmos. Der Goldene Schnitt wird durch die Goldene Zahl ϕ (Phi) determiniert. Sie hat den Wert:


ϕ = (1 + √5) / 2 = 1,618 033 989


Die Goldene Zahl ϕ zeichnet sich durch eine Reihe besonderer mathematischer Eigenschaften aus.


Die Goldene Zahl im Lichte der Fibonacci-Zahlen

Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (* um 1180 in Pisa; † nach 1241 in Pisa) war ein bedeutender ­Mathematiker des Mittelalters. In seinem Hauptwerk, dem Liber abbaci beschreibt Fibonacci im zwölften Kapitel im siebenten Abschnitt u.a. die berühmte Kaninchenaufgabe, aus der heraus er die heute unter dem Namen Fibonacci-Folge bekannten Zahlenreihe berechnete. Im Jahr 1202 wollte Fibonacci wissen, wie sich eine Kaninchen-Population entwickelt, wenn man mit einem Paar von Kaninchen anfängt. Fibonacci ging dabei von den folgenden idealisierten Annahmen aus:
Jedes Kaninchen wird im Alter von 2 Monaten fortpflanzungsfähig.
Und: Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein neues Paar zur Welt.
Das Ergebnis dieser Berechnung war die sogenannte Fibonacci-Folge, eine unendliche Folge von Zahlen, bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Die Fibonacci-Zahlen sind eng verwandt mit der Goldenen Zahl. Bildet man die Quotienten zwei benachbarter Zahlen aus der Fibonacci-Folge, so zeigt es sich, dass je größer diese Zahlen sind, desto näher liegt der Quotient bei der Goldenen Zahl ϕ.


Das Pentagramm
Das Pentagramm oder Fünfstern ist ein fünfeckiger Stern, der sich ergibt, wenn die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks (Pentagon) nachgezogen werden. In einem Pentagramm lässt sich zu jeder Strecke und Teilstrecke ein Partner finden, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle möglichen Streckenabschnitte in unterschiedlichen Farben dargestellt. Der Blau markierte Abschnitt ist um den Faktor ϕ länger als der Violett markierte Abschnitt, der Grün markierte Abschnitt ist wiederum um den Faktor ϕ länger als der Blau markierte Abschnitt, der Orange markierte Abschnitt ist wiederum um den Faktor ϕ länger als der Grün markierte Abschnitt. Die Abschnitte im Pentagramm bilden eine harmonische Reihe.


Das Pentagramm der Venus

Nach dem Mond ist die Venus das hellste natürliche Objekt am Dämmerungs- oder nächtlichen Sternenhimmel. Da die Venus als einer der inneren Planeten morgens oder abends am besten sichtbar ist und nie gegen Mitternacht, wird sie auch Morgenstern sowie Abendstern genannt. Die siderische Umlaufperiode der Venus – die Dauer eines Venusjahres – beträgt 224,701 Tage. Die Länge des Venusjahres verhält sich zur Länge des Erdenjahres wie 1 zu 1,624 oder etwa wie 1 zu ϕ.


Zusammen mit der Bahnperiode der Erde von 365,256 Tagen ergibt sich als Zeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden größten Annäherungen von der Venus zur Erde (untere Konjunktion) eine Periode von 583,924 Tagen beziehungsweise 1,599 Jahren. Von der Erde aus gesehen ist das die synodische Umlaufperiode der Venus. Die Umlaufzeiten von Venus und Erde befinden sich zueinander im Verhltnis 8:13 (genau 8:13,004); das heißt, sie stehen in einem Verhältnis, das auf einem gemeinsamen Maß beruht und sich dementsprechend fast exakt durch kleine ganze Zahlen aus der Fibonacci-Folge ausdrücken lässt. Aus der Differenz der beiden Zahlen (13 - 8 = 5) kann man in dem Fall eines übereinstimmenden Drehsinns ablesen, dass sich die größten Annäherungen im Idealfall von genau kreisförmigen Bahnen auf jeweils fünf verschiedene Bahnpunkte exakt gleichmäßig verteilen würden. Die räumliche Reihenfolge der Bahnpunkte nach jeweils einem Ganzen und drei Fünfteln eines Sonnenumlaufs ergibt mit gedachten Verbindungslinien das Venus-Pentagramm.
Die Venus beschreibt also von der Erde aus gesehen in acht Jahren eine fünfblättrige Lotusfigur am Himmel. Wohl weil die Fünferteilung des Kreises der geometrische Ausdruck des Goldenen Schnittes respektive der Harmonischen Teilung darstellt, gilt die Venus in der Astrologie als Planet der Harmonie.


Der Goldene Winkel
Den Goldene Winkel Ψ (Psi) erhält man, wenn man den Kreis mittels Winkel im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Da sich Winkel kleiner als 180° für die Praxis als handlicher erweisen, wird gewöhnlich der kleinere Winkel Ψ1 mit Ψ 137,5° als Goldener Winkel Ψ bezeichnet.
Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze in untenstehendem Bild. Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Durch die Drehung um den Goldenen Winkel wird erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche die Photosynthese behindert, in der Summe minimiert wird.


Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang Fibonacci-Spiralen aus. Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in Blütenständen, wie beispielsweise bei Sonnenblumen. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.





Der Autor Hans Cousto ist Mathematiker und Musikwissenschaftler, als Autor bekannt durch die erstmalige Berechnung und Veröffentlichung der „planetaren Stimmtöne“, später auch „Urtöne“ oder Planetenklänge genannt
(Die Oktave, Das Urgesetz der Harmonie, Simon&Leutner, 1987).


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